N°52 Page 180
Bézout & Gauss
$\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$ désignent des nombres entiers naturels non nuls tels que :
$$\textcolor{#caa7ff}{
(S)
\begin{cases}
a + b = 216 \newline
PGCD(a;b) = 27
\end{cases}
}$$
a) On pose $\textcolor{#caa7ff}{a' = \dfrac{a}{27}}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b' = \dfrac{b}{27}}$.
Que peut-on dire des entiers naturels $\textcolor{#caa7ff}{a'}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b'}$ ?
b) Justifier que résoudre le système $\textcolor{#caa7ff}{(S)}$ revient à résoudre le système :
$$\textcolor{#caa7ff}{
(S')
\begin{cases}
a' + b' = 8 \newline
PGCD(a';b') = 1
\end{cases}
}$$
c) Résoudre alors le systeme $\textcolor{#caa7ff}{(S')}$ puis donner les couples solutions du système $\textcolor{#caa7ff}{(S)}$.
a) $\textcolor{#caa7ff}{a'}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b'}$ sont premiers entre eux.
b) D'une part :
$$\textcolor{#caa7ff}{
a + b = 216
\newline \iff
\frac{a+b}{27} = \frac{216}{27}
\newline \iff
\frac{a}{27} + \frac{b}{27} = 8
\newline \iff
a' + b' = 8
}$$
D'autre part :
$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD(a';b') = 1
\newline \iff
27 PGCD(a';b') = 27
\newline \iff
PGCD(27a';27b') = 27
\newline \iff
PGCD(a;b) = 27
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
(S)
\begin{cases}
a + b = 216 \newline
PGCD(a;b) = 27
\end{cases}
\iff
(S')
\begin{cases}
a' + b' = 8 \newline
PGCD(a';b') = 1
\end{cases}
}$$
c) On liste les couples $\textcolor{#caa7ff}{(x;y)}$ tels quel $\textcolor{#caa7ff}{x + y = 8}$ (avec $\textcolor{#caa7ff}{x}$ et $\textcolor{#caa7ff}{y}$ entiers naturels non nuls) :
$$\textcolor{#caa7ff}{
(1;7)~,~(2;6)~,~(3;5)~,~(4;4)~,~(5;3)~,~(6;2)~,~(7;1)
}$$
On ne garde que les couples tels que $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(x;y) = 1}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
(1;7)~,~(3;5)~,~(5;3)~,~(7;1)
}$$
On trouve donc $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{M}'}$ l'ensemble des solutions de $\textcolor{#caa7ff}{(S')}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\mathscr{M'}
= \bigl\{
\bigl(1;7\bigr),
\bigl(3;5\bigr),
\bigl(5;3\bigr),
\bigl(7;1\bigr)
\bigr\}
}$$
Et $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{M}}$ l'ensemble des solutions de $\textcolor{#caa7ff}{(S)}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\mathscr{M}
= \bigl\{
\bigl(27;189\bigr),
\bigl(81;135\bigr),
\bigl(135;81\bigr),
\bigl(189;27\bigr)
\bigr\}
}
}$$